Лимит n/(n+5) при n → ∞

Определение предела функции - это концепция, которая позволяет нам понять, как поведет себя функция при стремлении ее аргумента к определенному значению. В данной статье мы рассмотрим предел функции n/(n+5) при n стремящемся к бесконечности.

Чтобы найти предел данной функции при n → ∞, мы можем использовать правило Лопиталя или представить функцию в виде отношения старших членов. Давайте рассмотрим оба подхода:

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя говорит, что если отношение двух функций имеет неопределенность вида "∞/∞" или "0/0" при стремлении аргумента к определенному значению, то эту неопределенность можно снять, дифференцируя числитель и знаменатель отдельно и снова рассматривая предел этого отношения.

В нашем случае, функция f(n) = n/(n+5) имеет неопределенность вида "∞/∞", так как числитель и знаменатель стремятся к бесконечности при n → ∞. Применяя правило Лопиталя, мы можем дифференцировать числитель и знаменатель по отдельности:

f'(n) = 1 / (1 + 0) = 1

Теперь, мы получили новую функцию f'(n) = 1 без неопределенности. Значит, предел исходной функции также равен 1 при n → ∞:

lim(n→∞) n/(n+5) = 1.

Представление в виде отношения старших членов

Второй способ найти предел функции n/(n+5) при n → ∞ - это представить ее в виде отношения старших членов. Это означает, что мы рассматриваем только самые большие члены в числителе и знаменателе функции.

В данном случае, самым большим членом является n, как в числителе, так и в знаменателе. Поэтому представим функцию как отношение старших членов:

n/(n+5) = 1 - 5/(n+5)

Теперь, когда представлена функция в виде отношения старших членов, мы можем наблюдать, что при n → ∞, выражение 5/(n+5) стремится к нулю. Это связано с тем, что n растет быстрее, чем 5. Таким образом, предел функции n/(n+5) при n → ∞ равен 1:

lim(n→∞) n/(n+5) = 1.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели нахождение предела функции n/(n+5) при n → ∞ с помощью правила Лопиталя и представления в виде отношения старших членов. Оба подхода привели к одному и тому же результату: предел функции равен 1. Это означает, что при стремлении аргумента функции к бесконечности, значение функции будет бесконечно близким к 1.