Совет Как

Чему равно скалярное произведение

Скалярное произведение - это одна из операций в линейной алгебре. Оно используется для определения углов и расстояний между векторами. С помощью скалярного произведения можно вычислить длину вектора, его направление и угол между двумя векторами.

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух векторов a и b является число, равное произведению длин векторов и косинуса угла между ними:

a · b = |a| * |b| * cos(α)

где α - угол между a и b.

Скалярное произведение может быть вычислено как сумма произведений соответствующих компонент векторов:

a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ

где a₁, a₂, ..., aₙ - компоненты вектора a; b₁, b₂, ..., bₙ - компоненты вектора b.

Свойства скалярного произведения

  1. Коммутативность: a · b = b · a
  2. Дистрибутивность: (a + b) · c = a · c + b · c
  3. Ассоциативность: (k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)
  4. Скалярное произведение равно нулю, если угол между векторами равен 90 градусов (когда векторы ортогональны друг другу)

Примеры вычисления скалярного произведения

  1. Найти скалярное произведение векторов a = [2, 4, -1] и b = [3, -2, 5].

a · b = 2 * 3 + 4 * (-2) + (-1) * 5 = 6 - 8 - 5 = -7

  1. Найти угол между векторами a = [0, 1, -2] и b = [-1, 0, 3].

a · b = 0 * (-1) + 1 * 0 + (-2) * 3 = -6

|a| = sqrt(0² + 1² + (-2)²) = sqrt(5)

|b| = sqrt((-1)² + 0² + 3²) = sqrt(10)

cos(α) = -6 / (sqrt(5) * sqrt(10)) ≈ -0.7454

α ≈ 43.64 градуса

Таким образом, угол между векторами a и b составляет примерно 43.64 градуса.

Заключение

Скалярное произведение - это важное понятие в линейной алгебре, которое используется для определения углов и расстояний между векторами. Оно имеет ряд полезных свойств, которые могут быть использованы при решении различных задач.