Совет Как

Что за правило? (Логарифм)

Логарифм - это математическая функция, обратная к показательной функции. Она позволяет находить значение степени, в которую нужно возвести определенное число, чтобы получить другое число.

Формула логарифма

Формула логарифма имеет следующий вид:

$$\log_ab=c$$

, где a - основание логарифма, b - число, для которого ищется логарифм, с - значение логарифма.

Основные свойства логарифма

В математике существуют несколько основных свойств логарифма, которые помогают в решении задач и упрощении математических выражений.

  1. $\log_a1=0$ - значение логарифма от единицы равно нулю.

  2. $\log_aa=1$ - значение логарифма от основания равно единице.

  3. $\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$ - логарифм произведения равен сумме логарифмов.

  4. $\log_a\left(\dfrac{b}{c}\right)=\log_ab-\log_ac$ - логарифм частного равен разности логарифмов.

  5. $\log_ab^n=n\log_ab$ - логарифм степени равен произведению степени и логарифма числа.

  6. $\log_{a^n}b=\dfrac{1}{n}\log_ab$ - логарифм числа по основанию в виде степени равен дробной степени логарифма числа.

Примеры задач с логарифмами

  1. Найдите значение логарифма $\log_351$.

Решение:

Подставляем основание и число, для которого ищем логарифм:

$$\log_351=c$$

Переписываем в стандартной форме:

$$3^c=51$$

Находим значение логарифма:

$$\log_351=\log_353^{\log_35}\approx2.344$$

  1. Решите уравнение $\log_2(x+4)+2\log_2(x-3)=3$.

Решение:

Переписываем уравнение с помощью правила дистрибутивности:

$$\log_2(x+4)+\log_2(x-3)^2=3$$

Получаем уравнение в стандартной форме:

$$(x+4)(x-3)^2=2^3$$

Решаем квадратное уравнение и проверяем его корни:

$x= -5$ - не подходит, так как $\log_2(-1)$ не определено.

$x=6$ - подходит.

Проверяем ответ:

$\log_2(6+4)+2\log_2(6-3)=1+2=3$. Ответ верный.

Заключение

Логарифм - это важнейшая математическая функция, которая помогает решать задачи вычисления значений степеней. Знание основных свойств логарифма позволяет упрощать математические выражения и производить расчеты. Решение задач с логарифмами требует тщательной работы и внимательности, но при этом может быть достаточно интересным и увлекательным занятием.