Дано: вектор ā=20i+30j-60k. Найти длину вектора и направление

Для решения данной задачи необходимо применить формулу для вычисления длины вектора:

$$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$

где $a_x, a_y, a_z$ - координаты вектора.

Подставляя значения из задачи, получим:

$$|\vec{a}|=\sqrt{(20)^2+(30)^2+(-60)^2}$$

Выполняем вычисления:

$$|\vec{a}|=\sqrt{400+900+3600}=\sqrt{4900}=70$$

Таким образом, длина вектора равна 70.

Для нахождения направления вектора необходимо определить углы между вектором и осями координат. Для этого можно воспользоваться следующими формулами:

$$\cos{\alpha} = \frac{a_x}{|\vec{a}|}$$ $$\cos{\beta} = \frac{a_y}{|\vec{a}|}$$ $$\cos{\gamma} = \frac{a_z}{|\vec{a}|}$$

Подставляя значения из задачи, получим:

$$\cos{\alpha} = \frac{20}{70} \approx 0.286 $$ $$\cos{\beta} = \frac{30}{70} \approx 0.429 $$ $$\cos{\gamma} = \frac{-60}{70} \approx -0.857 $$

Значения полученных косинусов можно использовать для нахождения углов направления вектора. Например, для нахождения угла $\alpha$ между вектором и осью $x$ можно воспользоваться формулой:

$$\alpha = \arccos{\cos{\alpha}}$$

Получим:

$$\alpha = \arccos{0.286} \approx 1.28\text{ радиан}=73.6^{\circ} $$

Аналогично можно найти углы направления вектора относительно осей $y$ и $z$. Таким образом, направление вектора можно задать в виде углов между вектором и осями координат $(73.6^{\circ}, 56.3^{\circ}, 142.4^{\circ})$.