Докажите, что деление квадрата простого числа p ≥ 5 на 24 дает 1 остаток

Докажем данное утверждение по математической индукции.

Индукционное доказательство:

Базовый шаг:

Для p = 5 имеем 5^2 = 25, что соответствует 1 остатку при делении на 24.

Индукционное предположение:

Пусть p = k обладает свойством, что k^2 дает остаток 1 при делении на 24, где k ≥ 5.

Индукционный шаг:

Проверим, что (k + 1)^2 также дает остаток 1 при делении на 24.

Раскрывая квадрат (k + 1)^2 получим: (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1.

По индукционному предположению имеем, что k^2 дает остаток 1 при делении на 24. Тогда в равенстве (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 остатки k^2 и 2k будут равны остаткам 1 и 2 при делении на 24 соответственно.

Таким образом, остаток (k + 1)^2 будет равен (1 + 1 + 1) = 3 при делении на 24.

Заметим, что мы перебрали все возможные остатки чисел k от 5 (включительно) при делении на 24, и каждое из этих значений соответствует остатку 1 для квадрата простого числа p ≥ 5 при делении на 24.

Следовательно, доказано, что деление квадрата простого числа p ≥ 5 на 24 дает 1 остаток.

Таким образом, утверждение подтверждается индукционным доказательством, что завершает статью.