Докажите, что если x не делится на 3, то (x^2) mod 3 = 1.

Для начала следует помнить, что операция «mod» представляет собой взятие остатка от деления одного числа на другое. При этом, если результат модуля равен 0, то это означает, что первое число делится нацело на второе.

Итак, доказывать утверждение о том, что если x не делится на 3, то (x^2) mod 3 = 1, нам нужно действовать по определению. Допустим, x – целое число, которое не делится на 3. Тогда мы можем записать его в виде x = 3n + k, где k – остаток от деления x на 3, а n – произвольное целое число. По условию задачи k ≠ 0, так как если k = 0, то x бы делится на 3.

Теперь вычисляем (x^2) mod 3:

(x^2) mod 3 = ((3n + k)^2) mod 3 = (9n^2 + 6nk + k^2) mod 3

Здесь мы использовали формулу квадрата суммы. Продолжаем вычисления:

(9n^2 + 6nk + k^2) mod 3 = ((3n)^2 + 2 * 3 * n * k + k^2) mod 3 = (k^2) mod 3

Получается, что мы упростили выражение, используя тот факт, что 9n^2 и 2 * 3 * n * k делятся нацело на 3. Осталось доказать, что (k^2) mod 3 = 1.

Единственными остатками от деления квадрата целых чисел на 3 являются 0 и 1. Например, 0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4 = 1 (mod 3). Так как k ≠ 0 по условию задачи, то k = 1 или k = 2. Для k = 1 получаем:

(k^2) mod 3 = 1^2 mod 3 = 1

Для k = 2 получаем:

(k^2) mod 3 = 2^2 mod 3 = 4 mod 3 = 1

Таким образом, мы доказали, что любое x, которое не делится на 3, удовлетворяет условию (x^2) mod 3 = 1.