Совет Как

Докажите, что прямые, заданные уравнениями x+2y=3, 2x-y=1 и 3x+y=4, пересекаются в одной точке

Чтобы доказать, что три прямые заданные уравнениями $x+2y=3$, $2x-y=1$ и $3x+y=4$ пересекаются в одной точке, нужно убедиться, что эти уравнения имеют одинаковые решения.

Решение

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+2y=3 \ 2x-y=1 \ 3x+y=4 \end{cases} $$

Решение можно найти несколькими способами. Например, методом Крамера:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \ 2 & -1 & 0 \ 3 & 1 & 0 \ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 1 \ \end{vmatrix} \cdot 0

\begin{vmatrix} 2 & 0 \ -1 & 0 \ \end{vmatrix} \cdot 0 + \begin{vmatrix} 2 & 0 \ -1 & 0 \ \end{vmatrix} \cdot 0 = 0 $$

Как видим, определитель матрицы системы равен нулю.

Значит, система имеет бесконечное множество решений. Но как мы узнаем координаты точки пересечения всех трех прямых?

Для этого просто подставим одно из решений системы в любое из уравнений прямых и найдем значения x и y.

Допустим, мы получили решение (1, 1). Подставляем его в первое уравнение:

$1 + 2 * 1 = 3$

Равенство выполняется, значит, точка (1, 1) принадлежит первой прямой.

Точно так же проверяем, что точка (1, 1) принадлежит оставшимся двум прямым.

Таким образом, мы доказали, что все три прямые пересекаются в одной точке.

Вывод

Три прямые, заданные уравнениями x+2y=3, 2x-y=1 и 3x+y=4 пересекаются в одной точке. Это можно доказать, решив систему уравнений, и подставив одно из решений в уравнения прямых.