Доказательство предела числовой последовательности

Чтобы доказать, что предел последовательности $a_n = \frac{2-n}{2+n}$ равен -1 при $n\to\infty$, необходимо воспользоваться определением предела.

По определению, число $l$ является пределом последовательности $a_n$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $N$ такой, что для всех $n > N$ выполнено неравенство

$$|a_n - l| < \varepsilon.$$

Для нашей последовательности $a_n = \frac{2-n}{2+n}$ нужно найти такой номер $N$, чтобы при любом $n > N$ выполнялось неравенство

$$\left|\frac{2-n}{2+n} + 1\right| < \varepsilon.$$

Перекрестим дробь, чтобы избавиться от отрицательного знака. Получим

$$\left|\frac{-4}{2+n} \right| < \varepsilon.$$

Далее можем продолжить доказательство, выполнив несколько простых алгебраических преобразований:

$$\frac{4}{2+n} < \varepsilon,$$ $$4 < \varepsilon(2+n),$$ $$\frac{4}{\varepsilon} < 2+n,$$ $$n > \frac{4}{\varepsilon} - 2.$$

Таким образом, если мы возьмем $N = \frac{4}{\varepsilon} - 2$, то для любого $n > N$ выполняется неравенство

$$\left|\frac{2-n}{2+n} + 1\right| < \varepsilon.$$

Это означает, что предел последовательности $a_n = \frac{2-n}{2+n}$ равен -1 при $n\to\infty$, что и требовалось доказать.