Совет Как

Функцию f(x)=ln(1+x^2) разложить в ряд по степеням x. Указать область сходимости

Для разложения функции f(x) = ln(1+x^2) в ряд по степеням x, воспользуемся рядом Маклорена.

Шаги решения:

  1. Найдем производные функции f(x) по x: f'(x) = 2x / (1+x^2) f''(x) = (2 - 2x^2) / (1+x^2)^2 f'''(x) = ( -8x ) / (1+x^2)^3 и так далее.

  2. Найдем значения производных функции f(x) в точке x=0: f'(0) = 0 f''(0) = 2 f'''(0) = 0 ...

Так как все производные функции f(x) в точке x=0 равны нулю, то коэффициенты разложения ряда Тейлора для данной функции будут равны нулю.

  1. Запишем разложение функции f(x) в ряд Тейлора: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ... = 0 + 0x + 2x^2/2! + 0x^3/3! + ... = x^2

Таким образом, функция f(x) = ln(1+x^2) разлагается в ряд Тейлора в виде f(x) = x^2.

  1. Определим область сходимости ряда по степеням x. Ряд Тейлора сходится, когда его абсолютное значение меньше бесконечности.

В данном случае ряд представляет собой многочлен второй степени, поэтому сходится для всех значений x.

Таким образом, область сходимости ряда равна (-∞, +∞).