Как решаются уравнения такого типа:

Уравнения вида (ax^2+bx+c)^2+dx^2+ex+f=0 могут быть решены с помощью преобразований. Начнем с исходного уравнения:

(2x^2+3x−1)^2−10x^2−15x+9=0

Раскроем квадрат в первой скобке:

(4x^4 + 12x^3 - 2x^2 + 9x^2 - 27x + 9) - 10x^2 - 15x + 9 = 0

Упрощаем:

4x^4 + 12x^3 - x^2 - 15x + 9 = 0

Далее, заметим, что исходное уравнение является квадратным относительно первой степени:

(2x^2+3x−1)^2 = 10x^2 + 15x - 9

Решаем данное уравнение квадратным способом:

2x^2 + 3x - 1 ± √(10x^2 + 15x - 9)

Теперь подставим найденные корни в исходное уравнение:

(2x^2+3x−1 + √(10x^2+15x−9))(2x^2+3x−1 − √(10x^2+15x−9)) = 0

Получили два уравнения:

2x^2 + 3x - 1 + √(10x^2 + 15x - 9) = 0 2x^2 + 3x - 1 - √(10x^2 + 15x - 9) = 0

Решаем каждое отдельно:

2x^2 + 3x - 1 + √(10x^2 + 15x - 9) = 0

Выносим за скобки √(10x^2+15x−9) = 1 - 2x^2 - 3x

Возводим в квадрат обе стороны: 10x^2 + 15x - 9 = 1 - 4x^2 - 12x + 4x^4

Переносим все в левую часть: 4x^4 + 12x^3 - x^2 - 15x + 8 = 0

Находим корни этого уравнения, подставляем в исходное и находим значения x:

2x^2 + 3x - 1 - √(10x^2 + 15x - 9) = 0

Выносим за скобки √(10x^2+15x−9) = 2x^2 + 3x - 1

Возводим в квадрат обе стороны: 10x^2 + 15x - 9 = 4x^4 + 12x^3 - x^2 - 6x + 1

Переносим все в левую часть: 4x^4 + 12x^3 - 11x^2 - 21x + 10 = 0

Находим корни этого уравнения, подставляем в исходное и находим значения x:

Вывод:

Уравнения вида (ax^2+bx+c)^2+dx^2+ex+f=0 решаются путем раскрытия скобок, замены переменных и решения получившихся квадратных уравнений. В данной конкретной задаче мы получили два квадратных уравнения, которые успешно решили.