Какой формулой описывается эта арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия (АП) - это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, больше предыдущего на определенную константу, называемую разностью. Например, 1, 3, 5, 7, 9 является арифметической прогрессией с разностью 2.
Определение АП дает возможность формально определить формулу для ее описания. Обозначим первый член арифметической прогрессии за $a_1$, а разность - за $d$. Тогда n-й член последовательности $a_n$ будет равен:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
Таким образом, формула для любого n-го члена АП является линейной функцией, где коэффициент наклона равен разности d, а свободный член - это первый член a_1.
Например, для последовательности 1, 3, 5, 7, 9, первый член a_1 = 1 и разность d = 2. Тогда, чтобы найти 6-й член, мы можем использовать формулу:
$$a_6 = 1 + (6 - 1)2 = 11$$
Также можно использовать формулу для вычисления разности d, если известны значения ее первого и любого другого членов. Например, если первый член a_1 = 5 и третий член a_3 = 11, то разность d будет:
$$d = \frac{a_3 - a_1}{3 - 1} = \frac{11 - 5}{2} = 3$$
Также можно вывести формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии (S_n):
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$$
Эта формула позволяет вычислить сумму первых n членов АП без необходимости просчитывать каждый член последовательности вручную.
Итак, формула арифметической прогрессии является необходимым инструментом для расчета ее членов и суммы первых n членов. Это позволяет решать множество математических задач, в которых используется арифметическая прогрессия.