Число (2x+5)/(2x+1) в степени 5x и его предел при x → ∞

Когда мы рассматриваем предел функции, которая стремится к бесконечности, это может привести к интересным и сложным результатам. В данном случае, мы рассмотрим число (2x+5)/(2x+1) в степени 5x и определим его предел при x → ∞.

Для начала, мы можем привести данное выражение к более удобному виду. Умножив числитель и знаменатель на 1/x, мы получим:

(2 + 5/x)/(2 + 1/x)

Затем, возведем получившееся выражение в степень 5x:

[(2 + 5/x)/(2 + 1/x)]^(5x)

Далее, мы можем использовать свойство предела, которое гласит, что предел произведения равен произведению пределов. Также, предел суммы равен сумме пределов:

lim(5x→∞) [(2 + 5/x)/(2 + 1/x)]^(5x) = lim(5x→∞) [(2 + 5/x)^(5x)] / [(2 + 1/x)^(5x)]

Теперь, если мы рассмотрим предел каждого отдельного множителя в числителе и знаменателе, мы можем заметить следующее:

lim(5x→∞) (2 + 5/x)^(5x) = e^5 lim(5x→∞) (2 + 1/x)^(5x) = e^5

где e - основание натурального логарифма.

Таким образом, предел данного выражения равен:

lim(5x→∞) [(2 + 5/x)^(5x)] / [(2 + 1/x)^(5x)] = (e^5)/(e^5) = 1

Таким образом, число (2x+5)/(2x+1) в степени 5x, при x → ∞, равно 1.

Этот результат может быть интересным и неочевидным, но он обусловлен свойствами пределов и экспоненты. Он также показывает, насколько могут быть сложными результаты, когда имеется дело с пределами функций, стремящихся к бесконечности.