Математика 8 класс. Степени
Степени являются одним из важных понятий в математике, которые изучают в 8 классе. Понимание этого понятия необходимо для понимания других тем в математике, таких как алгебраические выражения, уравнения и тригонометрия. В этой статье мы рассмотрим основные понятия степеней и применения в решении задач.
Что такое степень?
Степень - это способ записи числа в виде произведения, где основанием является данное число, а показателем является натуральное число. Например, число $2^3$ означает произведение трех двоек: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Свойства степеней
В математике есть несколько свойств степеней, которые помогают в решении задач. Рассмотрим некоторые из них.
Свойство 1
При умножении степеней с одинаковым основанием показатель складывается. Например, $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.
Свойство 2
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. Например, $\frac{4^7}{4^3} = 4^{7-3} = 4^4$.
Свойство 3
При возведении в степень степени необходимо умножить показатели. Например, $(2^3)^4 = 2^{3\cdot 4} = 2^{12}$.
Свойство 4
При умножении или делении числа в степени на число без степени необходимо умножить или разделить числа, а основание остаётся прежним. Например, $2^3 \cdot 5 = 2^3\cdot 5^1$ и $\frac{4^7}{2} = 2^{7\cdot 2 - 1}$.
Решение задач с помощью степеней
С помощью степеней можно решить различные задачи в математике. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Для любого положительного числа $a$ выполняется равенство $a^3 - 8a = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$. Докажите это равенство.
Решение: Вычислим левую часть равенства: $a^3 - 8a = a(a^2 - 8) = a(a-\sqrt[3]{8})(a+\sqrt[3]{8})$. Теперь вычислим правую часть: $(a-2)(a^2+2a+4) = a^3 + 2a^2 + 4a - 2a^2 - 4a - 8 = a^3 - 8a$. Мы получили одинаковые выражения, значит равенство доказано.
Пример 2
Найдите значение выражения $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})^2$.
Решение: Приведем дроби к общему знаменателю: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})^2 = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6})^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$.
Вывод
Степени являются важным понятием в математике, которые необходимо понимать для решения различных задач. Знание свойств степеней помогает быстрее решать задачи и сокращать выражения.