Минимальная сумма квадратов
Дано, что натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что $12x$ и $18y$ являются точными квадратами. Нужно найти наименьшее возможное значение суммы этих квадратов.
Решение
Так как $12x$ и $18y$ являются точными квадратами, то мы можем записать:
$$12x = a^2$$
$$18y = b^2$$
Где $a$ и $b$ - целые числа.
Разложим $12x$ на простые множители: $12x = 2^2\cdot3\cdot x$. Так как $a$ - целое число, то $a^2$ должно содержать в своем разложении каждый простой множитель с четной степенью. То есть $a^2$ должно быть квадратом четного числа.
Таким образом, мы можем записать $a = 2\sqrt{3x}$.
Аналогично, разложим $18y$ на простые множители: $18y = 2 \cdot 3^2 \cdot y$. Так как $b$ - целое число, то $b^2$ должно содержать в своем разложении каждый простой множитель с четной степенью. То есть $b^2$ должно быть квадратом четного числа.
Таким образом, мы можем записать $b = 3\sqrt{2y}$.
Теперь мы можем выразить $x$ и $y$ через $a$ и $b$:
$$x = \frac{a^2}{12} = \frac{(2\sqrt{3x})^2}{12} = \frac{3a^2}{12} = \frac{a^2}{4\cdot3}$$
$$y = \frac{b^2}{18} = \frac{(3\sqrt{2y})^2}{18} = \frac{2b^2}{18} = \frac{b^2}{9}$$
Теперь нам нужно найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма была минимальной. Это эквивалентно тому, что нужно минимизировать выражение:
$$\frac{a^2}{4\cdot3} + \frac{b^2}{9}$$
Сделаем замену переменных: $u = \frac{a^2}{4\cdot3}$, $v = \frac{b^2}{9}$. Тогда мы можем записать:
$$u+v = \frac{a^2}{4\cdot3} + \frac{b^2}{9}$$
$$u+v = \frac{3a^2+4b^2}{36}$$
Нам нужно найти минимум этого выражения. Для этого найдем производные:
$$\frac{\partial(u+v)}{\partial a} = \frac{a}{2\cdot3\cdot6}+\frac{0}{9} = \frac{a}{36}$$
$$\frac{\partial(u+v)}{\partial b} = \frac{0}{4\cdot3}+\frac{2b}{9\cdot9} = \frac{2b}{81}$$
Чтобы найти минимум, нужно приравнять эти производные к нулю:
$$\frac{a}{36} = 0$$
$$\frac{2b}{81} = 0$$
Отсюда следует, что $a = 0$ и $b = 0$. Значит, количество точек, удовлетворяющих условию задачи, равно нулю.
Ответ
Наименьшее возможное значение суммы квадратов для данных условий не существует, так как количество точек, удовлетворяющих условию задачи, равно нулю.