Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=\sin x$, $y=\cos x$ и отрезком $[0, \frac{\pi}{2}]$ оси $Ox$

Фигура, ограниченная графиками функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$, а также отрезком $[0, \frac{\pi}{2}]$ оси $Ox$, представляет собой треугольник.

Для вычисления площади этого треугольника можно использовать следующий метод:

Найдем точки пересечения графиков функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$. Для этого приравняем уравнения этих функций:

$\sin x = \cos x$
Решим полученное уравнение:

$\sin x = \cos x$

Разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x = 1$

Получаем, что угол $x$ должен быть равен $\frac{\pi}{4}$.
Теперь можем найти координаты точек пересечения графиков функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$:

Подставляем $x=\frac{\pi}{4}$ в оба уравнения:

$y_{\sin} = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_{\cos} = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Получаем, что точки пересечения графиков находятся в точке $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Теперь мы можем построить треугольник и вычислить его площадь.

Длина основания треугольника равна $\frac{\pi}{4}$, а высота равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi \sqrt{2}}{16}$.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=\sin x$, $y=\cos x$ и отрезком $[0, \frac{\pi}{2}]$ оси $Ox$, равна $\frac{\pi \sqrt{2}}{16}$.