Найти абсолютный экстремум функции

Функция может достигать максимального или минимального значения на определенном отрезке. Такие значения называются экстремумами. Если экстремум является наибольшим или наименьшим значением функции на ее области определения, то он называется абсолютным экстремумом. Найти абсолютный экстремум функции можно с помощью метода дифференциального исчисления.

Для начала необходимо найти производную функции. Производная показывает, как изменяется значение функции при изменении ее аргумента. Далее необходимо найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. В этих точках могут находиться максимумы или минимумы функции.

Для нахождения абсолютного максимума или минимума функции необходимо сравнить значения функции в найденных точках и на концах заданного отрезка. Наибольшее или наименьшее значение функции на данном отрезке будет являться абсолютным экстремумом.

Например, для функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 на отрезке [0, 4] для нахождения экстремумов необходимо вычислить производную функции: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. Найдем точки, в которых производная равна нулю: 3x^2 - 12x + 9 = 0. Решив это уравнение, получим две точки: x1 = 1 и x2 = 3.

Теперь необходимо сравнить значения функции в точках x=0, x=1, x=3 и x=4. Наибольшее значение (f=11) достигается при x=1, а наименьшее (f=2) при x=4. Таким образом, абсолютный максимум функции на отрезке [0, 4] равен 11 (достигается при x=1), а абсолютный минимум равен 2 (достигается при x=4).

Таким образом, для нахождения абсолютного экстремума функции необходимо найти ее производную, найти точки, в которых она равна нулю или не существует, и сравнить значения функции в найденных точках и на концах заданного отрезка. Наибольшее или наименьшее значение функции будет являться абсолютным экстремумом.