Совет Как

Найти частное решение дифференциального уравнения

Условие задачи

Найти частное решение дифференциального уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.

Решение

Дифференциальное уравнение в данной задаче выглядит следующим образом:

y`/(x^2)=1/(y^2)

Чтобы решить это уравнение, сначала нужно проинтегрировать его относительно переменной x:

∫ y`/(x^2) dx = ∫ 1/(y^2) dx

Чтобы вычислить первый интеграл, воспользуемся формулой интегрирования по частям:

∫ y`/(x^2) dx = -y/x + ∫ y/x^3 dx

Для второго интеграла воспользуемся заменой переменной u=y^(-1), тогда:

∫ 1/(y^2) dx = -∫ u du = -1/y + C1

Где С1 – произвольная постоянная интегрирования.

Теперь подставляем полученные интегралы в исходное уравнение:

-y/x + ∫ y/x^3 dx = -1/y + C1

Домножим обе части уравнения на x^3*y^2:

-xy^2 + yx^3y` = x^3y^2*C1 - x^3

Перенесем все слагаемые на одну сторону и получим уравнение:

y^3*y` = x^4 - yx^2

Это уравнение можно решить методом переменных разделяющихся.

Для этого выразим dx через y и y`:

dx = (y^2 dy)/(x^2 y`)

Подставим это выражение в исходное уравнение:

y^3*y` = x^4 - yx^2

y^3*y = x^4 - y(x^2)(y^2 dy)/(x^2 y)

Simplify:

y^4 dy = (x^2 dx)/y`

x^2/y * y = y^2 * y^3

y^5 = C2*x^3

Где С2 – произвольная постоянная.

Теперь найдем значение С2, удовлетворяющее начальному условию y(0)=2:

2^5 = C2*0^3

C2=32

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2, имеет вид:

y^5 = 32x^3

Выводы

В данной статье мы рассмотрели метод решения дифференциального уравнения с помощью переменных разделяющихся. Найдено частное решение уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.