Найти частное решение дифференциального уравнения
Условие задачи
Найти частное решение дифференциального уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
Решение
Дифференциальное уравнение в данной задаче выглядит следующим образом:
y`/(x^2)=1/(y^2)
Чтобы решить это уравнение, сначала нужно проинтегрировать его относительно переменной x:
∫ y`/(x^2) dx = ∫ 1/(y^2) dx
Чтобы вычислить первый интеграл, воспользуемся формулой интегрирования по частям:
∫ y`/(x^2) dx = -y/x + ∫ y/x^3 dx
Для второго интеграла воспользуемся заменой переменной u=y^(-1), тогда:
∫ 1/(y^2) dx = -∫ u du = -1/y + C1
Где С1 – произвольная постоянная интегрирования.
Теперь подставляем полученные интегралы в исходное уравнение:
-y/x + ∫ y/x^3 dx = -1/y + C1
Домножим обе части уравнения на x^3*y^2:
-xy^2 + yx^3y` = x^3y^2*C1 - x^3
Перенесем все слагаемые на одну сторону и получим уравнение:
y^3*y` = x^4 - yx^2
Это уравнение можно решить методом переменных разделяющихся.
Для этого выразим dx через y и y`:
dx = (y^2 dy)/(x^2 y`)
Подставим это выражение в исходное уравнение:
y^3*y` = x^4 - yx^2
y^3*y = x^4 - y(x^2)(y^2 dy)/(x^2 y
)
Simplify:
y^4 dy = (x^2 dx)/y`
x^2/y * y
= y^2 * y^3
y^5 = C2*x^3
Где С2 – произвольная постоянная.
Теперь найдем значение С2, удовлетворяющее начальному условию y(0)=2:
2^5 = C2*0^3
C2=32
Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2, имеет вид:
y^5 = 32x^3
Выводы
В данной статье мы рассмотрели метод решения дифференциального уравнения с помощью переменных разделяющихся. Найдено частное решение уравнения y`/(x^2)=1/(y^2), удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
- Игрока назовите? Можете и скорость включить(кому надо)
- Проблема с наркологом
- Какие глаза для тебя имеют свою особую изюминку и загадочность?
- Любовь - это вам не просто так, ею надо заниматься?
- Если парень в первый день знакомства начинает спрашивать через интернет какое на девушке бельё...Кто он???
- Правда, что если бьёт, значит любит?