Нахождение общего решения системы с помощью характеристического уравнения

Имеется система уравнений:

$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 4x+6y \ \frac{dy}{dt} = 4x+2y \end{cases}$

Найдем ее общее решение с помощью метода характеристического уравнения.

Составим характеристическое уравнение:

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 6 \ 4 & 2-\lambda\end{vmatrix} = 0$

$(4-\lambda)(2-\lambda)-24=0$

$\lambda^2-6\lambda+8=0$

$\lambda_1=2,;\lambda_2=4$

Найдем собственные векторы $v_1$ и $v_2$ для каждого из собственных значений $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответственно.

Для $\lambda_1=2$:

$\begin{pmatrix} 4-2 & 6 \ 4 & 2-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{11}\v_{12}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 6 \ 4 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{11}\v_{12}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}$

$2v_{11}+6v_{12}=0,;4v_{11}=0$

$v_{11}=0,;v_{12}=1$

Таким образом, $v_1=\begin{pmatrix} 0\1\end{pmatrix}$.

Для $\lambda_2=4$:

$\begin{pmatrix} 4-4 & 6 \ 4 & 2-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{21}\v_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 6 \ 4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{21}\v_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}$

$6v_{22}=0,;4v_{21}-2v_{22}=0$

$v_{21}=\frac{1}{2}v_{22},;v_{22}\neq0$

Таким образом, $v_2=\begin{pmatrix} 1\2\end{pmatrix}$.

Общее решение системы определяется формулой:

$X(t)=c_1e^{\lambda_1 t}v_1+c_2e^{\lambda_2 t}v_2$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Подставим найденные значения $\lambda_1$, $\lambda_2$ и соответствующие собственные векторы $v_1$, $v_2$ в формулу общего решения:

$X(t)=c_1e^{2t}\begin{pmatrix} 0\1\end{pmatrix}+c_2e^{4t}\begin{pmatrix} 1\2\end{pmatrix}$

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

$\begin{cases} x(t)=c_1e^{2t}\ y(t)=c_1e^{2t}+2c_2e^{4t}\end{cases}$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

Эта система имеет два устойчивых узла в точках $(0,0)$ и $(-\frac{3}{2},\frac{3}{4})$.