Найти общее решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

$x + 2y - z = 0$

$2x + 3y + z = 0$

Необходимо найти ее общее решение.

Метод Гаусса-Жордана

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод Гаусса-Жордана.

Записываем расширенную матрицу системы:

$\begin{pmatrix} 1&2&-1&|&0 \ 2&3&1&|&0 \end{pmatrix}$

Приводим матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк:

$\begin{pmatrix} 1&2&-1&|&0 \ 2&3&1&|&0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&-1&|&0 \ 0&-1&3&|&0 \end{pmatrix}$

Применяем обратный ход метода Гаусса-Жордана, чтобы получить матрицу в улучшенном ступенчатом виде:

$\begin{pmatrix} 1&0&5&|&0 \ 0&1&-3&|&0 \end{pmatrix}$

Записываем общее решение системы:

$x = -5z$

$y = 3z$

Таким образом, общее решение системы уравнений имеет вид:

$(x,y,z) = (-5z,3z,z)$, где $z \in \mathbb{R}$

Вывод

Метод Гаусса-Жордана является эффективным инструментом для решения систем уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы системы и позволяет получить ее ступенчатый или улучшенный ступенчатый вид. Решив систему в улучшенном ступенчатом виде, можно легко найти ее общее решение.