Совет Как

Помогите плеез! Интеграл arccos(x/3)dx

Интегрирование - это важный процесс в математике, который позволяет найти площадь под графиком функции или найти функцию, если задан ее производная. Однако интегрирование может оказаться сложной задачей в некоторых случаях.

Одной из таких задач является интеграл от функции arccos(x/3)dx. Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - это метод, который позволяет интегрировать произведение двух функций. Формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du

где u и v - функции от переменной x, а du и dv - их производные по x.

Применим этот метод к нашему интегралу. Запишем функцию arccos(x/3)dx как произведение двух функций: u = arccos(x/3) и dv = dx. Найдем их производные du и v:

du/dx = -1/sqrt(9-x^2) и v = x

Теперь можем записать наш интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:

∫ arccos(x/3)dx = x * arccos(x/3) - ∫ x * (-1/sqrt(9-x^2))dx

Выражаем второй интеграл с помощью замены переменной. Пусть u = 9 - x^2, тогда du/dx = -2x, а dx = (-1/2x) du. Подставляем это в интеграл:

∫ x * (-1/sqrt(9-x^2))dx = -∫ (x / sqrt(u)) (-1/2x) du = 1/2 ∫ (1 / sqrt(u)) du

Этот интеграл мы можем легко вычислить:

1/2 ∫ (1 / sqrt(u)) du = 1/2 * 2√u = √u

Возвращаемся к исходному интегралу:

∫ arccos(x/3)dx = x * arccos(x/3) - √(9-x^2) + C

Где C - произвольная постоянная.

Заключение

В данной статье мы рассмотрели метод интегрирования по частям и замену переменной, которые помогли нам решить интеграл от функции arccos(x/3)dx. Полученный результат имеет вид x * arccos(x/3) - √(9-x^2) + C, где C - произвольная постоянная.