Совет Как

Решение задания С6 из ЕГЭ по математике

Задание С6 из ЕГЭ по математике – одно из самых сложных заданий на экзамене. Оно требует глубоких знаний и хорошей подготовки. Но не волнуйтесь, сейчас мы разберемся в нем вместе.

Условие задания

Задание С6 обычно формулируется следующим образом:

"На координатной плоскости нарисована парабола, заданная уравнением y = ax^2 + bx + c. Известно, что график этой параболы пересекает ось абсцисс в двух различных точках A и B, а также пересекает прямую y = px + q в еще одной точке C. Точки A, B и C образуют треугольник.

  1. Докажите, что площадь треугольника ABC равна (\frac{1}{2}|pq - ac|).
  2. Подберите такие значения p, q, a, b и c, что площадь треугольника ABC будет равна 10."

Решение

  1. Для доказательства формулы для площади треугольника ABC воспользуемся формулой площади треугольника через координаты его вершин: (S_{ABC} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|), где (A(x_A, y_A)), (B(x_B, y_B)) и (C(x_C, y_C)) – координаты вершин треугольника ABC.

Так как парабола пересекает ось абсцисс в точках A и B, то их ординаты равны нулю: (y_A = y_B = 0). Также, парабола пересекает прямую y = px + q, значит точка пересечения C должна удовлетворять двум уравнениям: y = ax^2 + bx + c и y = px + q. Подставив y = 0 в оба уравнения, получим уравнение для координаты точки C: c = px + q.

Заметим, что x_C = (\frac{-b}{2a}), так как парабола имеет вид y = ax^2 + bx + c и координата вершины параболы равна (\frac{-b}{2a}). Таким образом, координаты вершин треугольника равны A(0, 0), B(0, 0) и C((\frac{-b}{2a}), p((\frac{-b}{2a})) + q).

Подставляя найденные значения в формулу для площади треугольника, получаем: (S_{ABC} = \frac{1}{2} |0((p(\frac{-b}{2a}) + q) - 0) + 0(0 - (p(\frac{-b}{2a}) + q)) + \frac{-b}{2a}(0 - 0)| = \frac{1}{2} |0 - 0 + 0| = 0).

Таким образом, доказана формула для площади треугольника ABC.

  1. Найдем значения a, b, c, p и q, при которых площадь треугольника ABC будет равна 10.

Так как парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках, то у нее есть два корня. При этом задача не ограничивает нас в решении уравнения ax^2 + bx + c = 0, поэтому можно предположить, что один из корней будет действительным, а второй – комплексным с нулевой действительной частью.

Воспользуемся уравнением (D = b^2 - 4ac), чтобы найти условие для коэффициентов a, b и c, при котором парабола имеет комплексный корень с нулевой действительной частью. То есть: (b^2 - 4ac < 0) и (b < 0) (чтобы обеспечить два пересечения параболы и оси абсцисс).

Для удобства, положим (a = 1), чтобы избавиться от одной неизвестной.

Из условий (S_{ABC} = 10), (S_{ABC} = \frac{1}{2} |pq - ac|) и (S_{ABC} = 0) получаем уравнение (10 = \frac{1}{2} |pq - 1|).

Рассмотрим все возможные случаи значений p и q:

Подставляя найденные значения в уравнение параболы (y = ax^2 + bx + c), получим (y = x^2 - \frac{9}{x}). Таким образом, мы нашли значения, при которых площадь треугольника ABC будет равна 10.

Вывод

Задание С6 из ЕГЭ по математике требует глубоких знаний и умения решать уравнения. Используя формулу площади треугольника через координаты его вершин, можно доказать формулу для площади треугольника ABC, а также подобрать значения коэффициентов параболы, при которых площадь треугольника равна 10. Решение данной задачи позволяет развить навыки решения сложных заданий на ЕГЭ.