Помогите Задача с треугольником Задача 3

Одной из классических задач геометрии является задача на нахождение площади треугольника. Она решается по формуле для вычисления площади треугольника через его стороны. Но что делать, если в задаче неизвестны стороны треугольника, а известен лишь его периметр и радиус вписанной окружности? Ответ на этот вопрос содержится в задаче с треугольником 3.

Условия задачи

Дан треугольник со сторонами a, b и c и радиусом вписанной окружности r. Нужно вычислить его площадь S.

Решение задачи

Решение задачи связано с применением формулы Эйлера для треугольника. Согласно этой формуле, сумма квадратов расстояний от центра вписанной окружности до сторон треугольника равна сумме квадратов радиусов. Математически это выглядит так:

r^2 = (p - a)(p - b)(p - c) / p,

где p - полупериметр треугольника.

Таким образом, мы имеем все необходимые данные для вычисления площади треугольника по формуле:

S = r * p.

Подставляя значение r из первой формулы, получаем:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)).

Таким образом, мы можем вычислить площадь треугольника, зная его радиус вписанной окружности и периметр.

Пример решения задачи

Рассмотрим пример:

Дан треугольник со сторонами 6, 7 и 8 и радиусом вписанной окружности r = 2. Найдите его площадь.

Сначала нужно вычислить полупериметр треугольника:

p = (6 + 7 + 8) / 2 = 10.5.

Затем подставляем найденное значение p в формулу для вычисления площади:

S = sqrt(10.5(10.5 - 6)(10.5 - 7)(10.5 - 8)) = 24.

Таким образом, площадь треугольника составляет 24 квадратных единицы.