Совет Как

Проверить является ли выражение 4*(x^2-y^2)(xdx-yd*y) ролным дефиренциалом некоторой функции и если да, то какой

Мы должны проверить, является ли выражение $4*(x^2-y^2)(xdx-yd*y)$ ролевым дифференциалом некоторой функции. Для этого нам понадобится применение некоторой методики.

Предположим, что данное выражение является ролевым дифференциалом некоторой функции $f(x,y)$. Запишем это в виде:

$$ 4*(x^2-y^2)(xdx-yd*y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy. $$

Далее возьмем частные производные по $x$ и $y$ от обеих сторон и увидим, что:

$$ \frac{\partial}{\partial x}(4*(x^2-y^2)(xdx-ydy)) = 8x(xdx-ydy)+4(x^2-y^2)(2xdx-2ydy), $$

$$ \frac{\partial}{\partial y}(4*(x^2-y^2)(xdx-ydy)) = -8y(xdx-ydy)+4(x^2-y^2)(-2ydy-2xdx). $$

Сравним эту формулу с правой частью уравнения (1):

$$ \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy, $$

таким образом:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = 8x(xdx-ydy)+4(x^2-y^2)(2xdx-2ydy) \ \frac{\partial f}{\partial y} = -8y(xdx-ydy)+4(x^2-y^2)(-2ydy-2xdx). $$

Чтобы решить эту систему уравнений для $f(x,y)$, мы должны интегрировать частную производную по $x$ с respect к $x$ и частную производную по $y$ с respect к $y$ одновременно, после чего сравнить результаты. Но даже до того, как мы это сделаем, мы могли бы заметить, что вторые производные функции не равны, и, следовательно, это означает, что $f(x,y)$ не существует.

Таким образом, данное выражение не является ролевым дифференциалом некоторой функции.