Решение системы уравнений по правилам Крамера
Правила Крамера являются одним из методов решения системы уравнений. Этот метод основан на вычислении отдельных значений каждого неизвестного с помощью определителей матриц.
Общая формула
Рассмотрим систему уравнений: $$ \left{ \begin{array}{} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \ ... \ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n \end{array} \right. $$
Пусть $A$ - матрица коэффициентов при неизвестных, $B$ - столбец свободных членов, а $\Delta = \det(A)$ - определитель матрицы $A$. Тогда значение каждого неизвестного можно найти по формуле:
$$ x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, $$
где $\Delta_i$ - определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов $B$.
Пример
Рассмотрим систему уравнений:
$$ \left{ \begin{array}{} 2x - y + z = 1 \ x + 3y - 2z = -5 \ 4x - y + 5z = 7 \end{array} \right. $$
Составим матрицу коэффициентов:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -2 \ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix} $$
И столбец свободных членов:
$$ B = \begin{pmatrix} 1 \ -5 \ 7 \end{pmatrix} $$
Найдем определитель матрицы $A$:
$$ \Delta = \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -2 \ 4 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 43 $$
Теперь найдем определители матриц, полученных из $A$ заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов $B$:
$$ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \ -5 & 3 & -2 \ 7 & -1 & 5 \end{vmatrix} = 43 $$
$$ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \ 1 & -5 & -2 \ 4 & 7 & 5 \end{vmatrix} = -43 $$
$$ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ 1 & 3 & -5 \ 4 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 43 $$
Теперь можем получить значения каждого неизвестного:
$$ x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{43}{43} = 1 $$
$$ y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-43}{43} = -1 $$
$$ z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{43}{43} = 1 $$
Таким образом, решение системы уравнений:
$$ \left{ \begin{array}{} x = 1 \ y = -1 \ z = 1 \end{array} \right. $$
Вывод
Правила Крамера позволяют решать систему уравнений, используя определители матриц. Этот метод может быть полезен при решении задач, требующих вычисления значений неизвестных при заданных коэффициентах. Однако, он может оказаться неэффективным при решении систем с большим числом уравнений и неизвестных, поэтому следует рассмотреть и другие методы решения систем.