Доказательство равенства углов в остроугольном треугольнике

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС:

В данном треугольнике проведены высоты ВВ1 и СС1, пересекающиеся в точке Н:

Нам необходимо доказать, что угол ВВ1С1 равен углу СС1В1.

Проведём дополнительные линии:

Заметим, что треугольники АВВ1 и АСС1 являются подобными, так как у них есть общий угол, а две другие угловые точки (АВ1 и АС1) также равны угловым точкам АВ и АС (по теореме о прямых углах в треугольнике). Следовательно, отношение сторон треугольников АВВ1 и АСС1 будет равно.

a/BB1 = a/CC1

а, BB1 и СС1 являются сторонами двух прямоугольных треугольников. Так как мы знаем, что высоты равны в произведении на основание, то:

a * BB1 = a * CC1

BB1 = CC1

Таким образом, мы показали, что BB1 = CC1. Теперь мы можем рассмотреть треугольник ВВ1С1, в котором две стороны равны (ВВ1 и СС1), а это значит, что углы при этих сторонах тоже равны.

Угол ВВ1С1 = углу СС1В1.

Таким образом, мы доказали, что углы ВВ1С1 и СС1В1 равны.