Записать уравнение плоскости проходящей через три точки М1(1,0,1), М2(1,-1, 2), М3(2,1,3). Варианты:
Дано три точки М1(1,0,1), М2(1,-1,2) и М3(2,1,3). Найдём уравнение плоскости, проходящей через эти точки.
Для того чтобы найти уравнение плоскости, необходимо найти векторное уравнение плоскости. Для этого возьмём векторы М1М2 и М1М3 и найдём их векторное произведение.
Вектор М1М2 можем найти как разность координат точек М1 и М2:
М1М2 = (1 - 1, 0 - (-1), 1 - 2) = (0, 1, -1)
Вектор М1М3 можем найти аналогично:
М1М3 = (2 - 1, 1 - 0, 3 - 1) = (1, 1, 2)
Теперь найдём векторное произведение этих векторов:
n = М1М2 x М1М3 = (0, 1, -1) x (1, 1, 2)
Применяя формулу для нахождения векторного произведения:
n = (1 * (-1) - 2 * 1, -(0 * (-1) - (-1) * 1), 0 * 2 - 1 * 1) = (-3, 1, -1)
Таким образом, у нас есть нормальный вектор плоскости n = (-3, 1, -1).
Зная нормальный вектор плоскости и координаты одной из точек (например, точки М1(1,0,1)), можно записать уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0
Где A, B и C - координаты нормального вектора плоскости, а D - произведение координат точки на нормальный вектор (D = -Ax - By - Cz).
Подставим значения:
-3x + y - z + D = 0
Для нахождения значения D подставим в уравнение координаты точки М1(1,0,1):
-3 * 1 + 0 - 1 + D = 0
-3 + 0 - 1 + D = 0
-4 + D = 0
D = 4
Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,0,1), М2(1,-1,2) и М3(2,1,3), равно:
-3x + y - z + 4 = 0
Данное уравнение является одним из возможных вариантов уравнения плоскости.