Есть общее решение НСЛУ. Как получить фундаментальную систему решений?

Введение

НСЛУ (система линейных уравнений) является важной темой в математике и других науках, таких как физика и экономика. Одна из основных проблем при решении НСЛУ заключается в поиске фундаментальной системы решений (ФСР). ФСР - это набор линейно независимых решений, которые полностью описывают общее решение уравнения.

Общее решение НСЛУ

Для начала, рассмотрим возможность нахождения общего решения НСЛУ. Если система имеет n уравнений с n неизвестными, то можно записать НСЛУ в виде:

A * x = 0

где A - матрица коэффициентов, x - вектор неизвестных. Общее решение будет иметь вид:

x = C * v

где C - константы, а v - ФСР. Однако, для нахождения ФСР, необходимо решить систему уравнений Ax = 0.

Нахождение ФСР

Для нахождения ФСР можно использовать метод Гаусса. Сначала матрица A приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Затем, переменные можно выразить через свободные (т.е. с нулевыми коэффициентами). Например, если матрица A имеет вид:

1  2  0 | 0
0  1  3 | 0
0  0  1 | 0

то свободными переменными будут x2 и x3, и решение можно записать в виде:

x1 = -2 * x2 - 3 * x3
x2 = x2 (свободная переменная)
x3 = x3 (свободная переменная)

Затем, можно записать ФСР как векторы-столбцы:

v1 = (1, 0, 0)
v2 = (-2, 1, 0)
v3 = (-3, 0, 1)

Эти векторы образуют базис в пространстве решений, так как являются линейно независимыми и полностью описывают общее решение.

Заключение

Получение ФСР является важной задачей при решении НСЛУ. Метод Гаусса позволяет достичь этой цели, приводя матрицу к ступенчатому виду и найдя свободные переменные. ФСР позволяет записать общее решение системы в виде набора линейно независимых векторов.