Когда в неравенствах знак меняется на противоположный?

Неравенства играют важную роль в математике и повседневной жизни. Они помогают нам сравнивать, анализировать и принимать решения. Однако, иногда возникают ситуации, когда знак в неравенстве меняется на противоположный. В данной статье мы рассмотрим подробнее эти случаи и попробуем понять, почему это происходит.

Случай 1: Неравенство с модулем

Когда мы сталкиваемся с неравенствами, которые содержат модуль, мы можем столкнуться с ситуацией, когда знак меняется на противоположный. Рассмотрим пример:

$|x-2|<5$

Чтобы неравенство было верно, модуль $|x-2|$ должен быть меньше 5. Это означает, что число $x-2$ должно находиться в интервале между -5 и 5.

$-5<(x-2)<5$

Раскроем скобки, чтобы получить неравенство в стандартной форме:

$-5<x-2<5$

$-5+2<x<5+2$

$-3<x<7$

Таким образом, решением данного неравенства будет интервал (-3,7). Мы видим, что знаки меняются на противоположные, так как модуль может принимать значения как положительные, так и отрицательные.

Случай 2: Неравенство с обратным знаком

Еще один случай, когда знаки меняются на противоположные, это когда мы переворачиваем знак неравенства.

Рассмотрим пример:

$x<3$

Если мы перевернем знак неравенства и домножим обе части на -1, мы получим:

$-x>-3$

Здесь мы можем видеть, что знак меняется на противоположный из-за переворота знака. Если мы домножим обе части на отрицательное число, знак тоже меняется на противоположный.

Заключение

Знание, когда знаки меняются на противоположный в неравенствах, очень важно для понимания математических выражений. Как мы видели выше, это происходит в случаях с модулем и при перевороте знака неравенства. Надеемся, что данная статья помогла разобраться в этой теме.