На какое число и при каких натуральных значениях a сократима дробь (17a + 1) / (20a + 1)?

Определение, на какие числа и при каких значениях переменной дробь (17a + 1) / (20a + 1) сократима, является важной задачей в элементарной алгебре.

Для того чтобы дробь (17a + 1) / (20a + 1) была сократима, необходимо и достаточно, чтобы числитель и знаменатель имели общие делители.

Разложим числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: 17a + 1 Знаменатель: 20a + 1

Далее мы исследуем сокращаемость дроби, рассматривая возможные общие делители числителя и знаменателя.

Числитель содержит только одно слагаемое: 17a. Знаменатель также содержит только одно слагаемое: 20a.

Таким образом, дробь (17a + 1) / (20a + 1) может быть сокращена только в том случае, если у числителя и знаменателя имеется общий делитель, равный 1.

Итак, чтобы определить, при каких натуральных значениях переменной a дробь сократима до целого числа, мы должны решить уравнение:

17a + 1 = (20a + 1) * k

Где k - натуральное число, равное коэффициенту сокращения.

Выразим a через k:

17a = 20ak a = 20k/(17k - 1)

Мы получили формулу, которая выражает значение переменной a в зависимости от значения k.

Поскольку мы ищем натуральные значения a, необходимо проверить, при каких натуральных значениях k выражение 20k/(17k - 1) будет натуральным числом.

Дробь будет натуральным числом, только если числитель (20k) делится нацело на знаменатель (17k - 1).

При анализе натуральных значений k мы обнаруживаем, что для любого натурального k значение (17k - 1) никогда не делится нацело на 20. В этом случае нельзя найти такие натуральные значения a, при которых дробь сократима до целого числа.

Таким образом, дробь (17a + 1) / (20a + 1) не сократима ни при каких натуральных значениях переменной a.