Найти неопределенный интеграл:

Рассмотрим интеграл $$\int \frac{4 dx}{x^2-6*x+8}$$

Для решения данного интеграла используем метод простых дробей.

Сначала запишем знаменатель дроби в виде произведения множителей:

$$x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$$

Тогда исходный интеграл примет вид:

$$\int \frac{4 dx}{(x-2)*(x-4)}$$

Для применения метода простых дробей представляем исходную дробь в виде суммы двух простых дробей:

$$\frac{4}{(x-2)*(x-4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}$$

Находим числовые значения коэффициентов А и В, решая полученную систему уравнений:

$$\begin{cases} A*(x-4) + B*(x-2) = 4 \ A + B = 0 \end{cases}$$

Решив ее, получаем $A=-2$ и $B=2$.

Следовательно, исходный интеграл равен:

$$\int \frac{4 dx}{(x-2)*(x-4)} = \int \frac{-2}{x-2} dx + \int \frac{2}{x-4} dx$$

Далее, находим интегралы каждой из простых дробей:

$$\int \frac{-2}{x-2} dx = -2\ln|x-2| + C_1$$

$$\int \frac{2}{x-4} dx = 2\ln|x-4| + C_2$$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы интегрирования.

Таким образом, исходный интеграл:

$$\int \frac{4 dx}{x^2-6*x+8} = -2\ln|x-2| + 2\ln|x-4| + C$$

Где C - произвольная константа интегрирования.