Нахождение уравнения эллипса
Для нахождения уравнения эллипса, когда известны координаты фокусов и вершин, нам необходимо применить определенные формулы и шаги. Давайте разберемся, как это сделать.
Шаг 1: Нахождение полуосей эллипса
Первым делом нам необходимо найти полуоси эллипса. Координаты фокусов (F1 и F2) и вершин (±√40) помогут нам сделать это. Координата фокуса F1 равна 4, а координата фокуса F2 равна -4. Также у нас есть вершины эллипса, которые равны ±√40.
Чтобы найти полуоси, мы должны найти расстояние между фокусами (2c) и расстояние между вершинами (2a).
Расстояние между фокусами:
2c = F2 - F1 = -4 - 4 = -8
Расстояние между вершинами:
2a = √40 - (-√40) = √40 + √40 = 2√40
Теперь мы можем найти полуоси a и c:
a = √40 / 2 = √10 c = -8 / 2 = -4
Шаг 2: Нахождение эксцентриситета эллипса
Для нахождения уравнения эллипса нам также понадобится знание эксцентриситета (e).
Эксцентриситет (e) можно найти с использованием формулы:
e² = 1 - (c² / a²)
где c - расстояние от центра эллипса до фокуса, a - полуось.
Подставляя значения, мы получим:
e² = 1 - ((-4)² / (√10)²) = 1 - 16 / 10 = 1 - 1.6 = -0.6
Шаг 3: Нахождение уравнения эллипса
Уравнение эллипса имеет следующий вид:
((x - h)² / a²) + ((y - k)² / b²) = 1
где (h, k) - координаты центра эллипса, a и b - полуоси.
С учетом полученных значений мы можем записать уравнение:
((x - 0)² / (√10)²) + ((y - 0)² / b²) = 1
то есть:
(x² / 10) + (y² / b²) = 1
Шаг 4: Нахождение b
Остается найти значение b. Используя эксцентриситет (e), мы можем найти b с помощью формулы:
b = a * √(1 - e²)
Подставляя значения, получим:
b = √10 * √(1 - (-0.6)) = √10 * √1.6 = √16 = 4
Итоговое уравнение эллипса
Таким образом, уравнение эллипса с фокусами F1=4 и F2=-4, а также вершинами ±√40, выглядит так:
(x² / 10) + (y² / 16) = 1
Это и есть окончательное уравнение искомого эллипса.
