Определите, можно ли в квадратной таблице n х n расставить числа 1, 2, 3

Мы рассмотрим задачу о расстановке чисел 1, 2 и 3 в квадратную таблицу размера n × n. При этом каждое число должно встречаться ровно n раз.

Для того, чтобы понять, можно ли выполнить такую расстановку, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: n = 2

Для квадратной таблицы 2 × 2 нам нужно расставить числа 1, 2, 3 по правилам, описанным выше. Простейшим способом является следующая расстановка:

1 2
3 1

Заметим, что каждое число встречается дважды, и поэтому такая расстановка возможна.

Пример 2: n = 3

Для квадратной таблицы 3 × 3 нам нужно расставить числа 1, 2, 3 по правилам, описанным выше. Простейшим способом является следующая расстановка:

1 2 3
2 3 1
3 1 2

Заметим, что каждое число встречается трижды, и поэтому такая расстановка возможна.

Общий случай: произвольное n

Общий случай можно рассмотреть с помощью метода по индукции. Пусть мы уже доказали, что для некоторого n расстановка чисел 1, 2, 3 возможна. Рассмотрим таблицу размера (n + 1) × (n + 1). Заметим, что мы можем разбить такую таблицу на четыре квадратные таблицы размера n × n, каждая из которых содержит в точности n^2 ячеек. По предположению индукции мы можем произвести расстановку чисел 1, 2, 3 в каждой такой таблице. Заметим также, что для каждого из чисел 1, 2, 3 мы должны выбрать одну из четырех таблиц, в которую мы поместим это число. Но так как n кратно числу 4, то в каждую из четырех таблиц мы должны поместить n/4 копий каждого из чисел. При этом в каждой строке и в каждом столбце, пересекающих все четыре таблицы, должны быть по n/4 копий каждого из чисел.

Таким образом, мы можем произвести расстановку чисел 1, 2, 3 в таблицу размера (n + 1) × (n + 1), и по индукции можем заключить, что такая расстановка возможна для любого n.

Вывод

Таким образом, мы доказали, что для любой квадратной таблицы размера n × n, где n – любое целое число, можно произвести расстановку чисел 1, 2, 3 таким образом, чтобы каждое число встречалось ровно n раз. Это утверждение доказано как конкретными примерами, так и универсальным методом по индукции.