Поиск наибольшего и наименьшего значения функции Y=(2X-1) / (X-1) в квадрате на отрезке {-1/2 ; 0}

Дана функция Y=(2X-1) / (X-1) в квадрате на отрезке {-1/2 ; 0}. Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Решение

Для начала, найдем область определения функции:

Y=(2X-1) / (X-1) в квадрате

D = {X | X ≠ 1}

Отрезок {-1/2 ; 0} не содержит точку X=1, следовательно, функция определена на данном отрезке.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, найдем её производную:

Y'=(2*(X-1)-(2X-1)*(-2)) / (X-1)^2

Y'=(2X-4) / (X-1)^2

Решим уравнение Y'=0, чтобы найти точки экстремума:

2X-4=0

X=2

Получаем, что в точке X=2 находится локальный минимум функции.

Проверим его наименьшее значение, используя формулу:

Y=(2X-1) / (X-1)

Y=(2*0.5-1) / (0.5-1)

Y=1

Таким образом, точка экстремума X=2 находится за пределами отрезка {-1/2 ; 0}, а значит, не является решением данной задачи.

Остается проверить значения функции на концах отрезка:

При X=-1/2:

Y=(2*(-1/2)-1) / ((-1/2)-1)

Y=(-2-1)/(2/(-2))

Y=3/4

При X=0:

Y=(2*0-1) / (0-1)

Y=-1

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке {-1/2 ;0} равно 3/4, а наименьшее значение равно -1.

Вывод

Полученные результаты позволяют утверждать, что наибольшее значение функции Y=(2X-1) / (X-1) в квадрате на отрезке {-1/2 ;0} равно 3/4, а наименьшее значение равно -1.