Помогите решить!!!! ((1+i)^100)/((1-i)^96+(1+i)^96) комплексные числа

Введение

Рассмотрим выражение ((1+i)^100)/((1-i)^96+(1+i)^96) в комплексных числах. Как его решить?

Решение

Для начала, заметим, что (1+i)^100 и (1-i)^96+(1+i)^96 - это комплексные числа. Найдем их значения.

Вычислим (1+i)^100. Для этого воспользуемся формулой Бинома Ньютона:

(1+i)^100 = C(100,0)1^100i^0 + C(100,1)1^99i^1 + C(100,2)1^98i^2 + ... + C(100,100)1^0i^100

Заметим, что i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 и так далее. Таким образом, можно заметить, что i^{4n} = 1, i^{4n+1} = i, i^{4n+2} = -1, i^{4n+3} = -i.

Пользуясь этими замечаниями, можно упростить выражение:

(1+i)^100 = C(100,0)1^100i^0 + C(100,1)1^99i^1 + C(100,2)1^98i^2 + ... + C(100,100)1^0i^100 = C(100,0)1^100i^0 + C(100,1)1^99i^1 + C(100,2)1^98i^2 + ... + C(100,100)1^0i^100 = (1)(1) + (100)(i) + (4950)(-1) + ... + (100)(i)^100 = 2^50 - 1002^48i + 4900*i^2 - ...

Аналогично, вычислим (1-i)^96+(1+i)^96. Заметим, что (1-i)^96 и (1+i)^96 - это конъюгированные комплексные числа. То есть, если мы найдем (1-i)^96, это будет означать, что (1+i)^96 = (1-i)^96. Поэтому вычислим только (1-i)^96.

Вычислим (1-i)^2:

(1-i)^2 = (1^2 - i^2) + (2i) = 2i

Теперь воспользуемся этим результатом:

(1-i)^96 = ((1-i)^2)^48 = (2i)^48 = 2^48*i^48 = 2^48

Таким образом, выражение ((1+i)^100)/((1-i)^96+(1+i)^96) равно:

((1+i)^100)/(2^48 + 2^48) = (1+i)^100/2^49

Подставляя полученное значение (1+i)^100, получим конечный ответ:

(2^50 - 1002^48i + 4900i^2 - ...)/(2^49) = (2^50)/(2^49) + (-100i)/2^49 + ...

Заключение

Таким образом, мы нашли значение выражения ((1+i)^100)/((1-i)^96+(1+i)^96) в комплексных числах. Упрощение выражения с помощью формулы Бинома Ньютона позволило нам получить компактный ответ.