Совет Как

Помогите решить уравнение sin(5x)*sin(8x)=cos(5x)*cos(8x)

Для начала, рассмотрим тригонометрические тождества:

  1. $\sin(a) \sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$
  2. $\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$
  3. $\sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$

Используя эти тождества, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

$\frac{1}{2}[\cos(8x-5x)-\cos(8x+5x)] = \frac{1}{2}[\cos(5x+8x)+\cos(5x-8x)]$

Упрощая выражение, получаем:

$\cos(3x) = \cos(13x)$

Теперь нам нужно найти все значения x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Для этого мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

$\cos(a) = \cos(b) \iff a = \pm b + 2n\pi$, где n - целое число.

Применяя это тождество, мы получаем два уравнения:

$3x = 13x + 2n\pi$

$3x = -13x + 2n\pi$

Решая эти уравнения, мы получаем:

$x = \frac{2n}{10}\pi$

$x = \frac{2n+1}{16}\pi$

Таким образом, общее решение уравнения $\sin(5x)\sin(8x) = \cos(5x)\cos(8x)$ имеет вид:

$x = \frac{n}{5}\pi$

$x = \frac{2n+1}{16}\pi$

где n - любое целое число.

Мы нашли все значения x, которые удовлетворяют уравнению.