Помогите с задачкой высшей математики :)

Высшая математика – это один из самых сложных предметов в учебной программе, который требует от студентов высокой концентрации, глубоких знаний и навыков решения задач. Иногда бывает, что студенты сталкиваются с задачами, которые кажутся им неразрешимыми. Но не стоит отчаиваться! Сегодня мы рассмотрим несколько способов решения задачи высшей математики.

Задача

Найдите производную функции $y=\frac{2x}{1-x^2}$.

Решение

Существует несколько способов решения данной задачи, но мы представим два из них.

Способ 1: применение правила дифференцирования частного

Как мы знаем, производная частного функций равна:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$$

Применяя данное правило к задаче, получим:

$$y'=\frac{\frac{d}{dx}(2x)(1-x^2)-\frac{d}{dx}(1-x^2)(2x)}{(1-x^2)^2}$$

Упрощаем:

$$y'=\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2}$$

Далее раскрываем скобки и выносим $2$ за скобки, получим:

$$y'=\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$

Способ 2: логарифмическое дифференцирование

Данный способ помогает решить задачи, которые сложно дифференцировать с помощью обычных правил, используя логарифмы. Применяем следующую формулу:

$$y=\frac{f(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \ln |y| = \ln |f(x)| - \ln |g(x)|$$

Определяя каждый член формулы, получим:

$$f(x)=2x, g(x)=1-x^2$$

Выражаем $y$:

$$y=\frac{2x}{1-x^2}$$

Применяем формулу логарифмического дифференцирования и дифференцируем обе части уравнения:

$$\ln |y| = \ln |2x| - \ln |1-x^2|$$

$$\frac{y'}{y}=\frac{2}{2x}-\frac{2x}{1-x^2}$$

Далее упрощаем и получаем ответ:

$$y'=\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$

Вывод

Данная задача является примером того, что существует несколько методов решения задач высшей математики. Если вы столкнулись с трудностями при решении задач, не отчаивайтесь, попробуйте разные методы и подходы. Освоение решения задач в высшей математике поможет вам улучшить понимание материала и сдать экзамены на высшие баллы.