Уравнение эллипса с большой осью 10 и фокусами в точках (0, 4) и (0, -4)

Для начала определим необходимые понятия. Эллипс - это геометрическая фигура, которая может быть представлена в виде замкнутой кривой, состоящей из всех точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов остаётся постоянной. Большая ось - это наибольшая из двух осей эллипса, проходящая через его центр и перпендикулярная меньшей оси.

Рассматриваемый эллипс имеет большую ось, равную 10, и фокусы, лежащие в точках (0, 4) и (0, -4). Для составления его уравнения воспользуемся стандартной формулой:

где a - длина большой оси, b - длина меньшей оси, (h, k) - координаты центра эллипса.

Центр эллипса находится на середине большой оси, то есть по оси OX он имеет координату 0, а по оси OY - среднее значение координат фокусов, то есть (0, 0):

h = 0
k = (4 + (-4)) / 2 = 0

Также нам известна длина большой оси a = 10. Меньшую ось b было бы легко найти, если бы мы знали эксцентриситет эллипса. Но, к сожалению, он нам неизвестен.

Однако мы можем использовать другую формулу для вычисления b:

где c - расстояние от центра до одного из фокусов. Мы знаем, что эллипс имеет фокусы в точках (0, 4) и (0, -4), поэтому:

c = 4

Подставляя полученные значения в формулу, получим:

b = √(a² - c²) = √(100 - 16) ≈ 9.799

Теперь мы знаем все необходимые значения для составления уравнения эллипса:

a = 10
b ≈ 9.799
h = 0
k = 0

Подставляя в стандартную формулу, получим окончательный ответ:

Это и есть уравнение эллипса, который имеет большую ось 10 и фокусы в точках (0, 4) и (0, -4).