Совет Как

Помогите решить задачку по математике

Задача

Сравнить два числа: $127^{33}$ и $513^{18}$.

Решение

Чтобы сравнить два числа в такой непривычной записи, следует вспомнить основные свойства степеней.

Свойства степеней

Свойства степеней с одинаковыми основаниями

  1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
  2. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Свойства степеней с одной степенью

  1. $(a^m)^n = a^{mn}$
  2. $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Сравнение двух чисел

Для начала посмотрим на первое число: $127^{33}$. Чтобы его сравнить с другим числом, можно преобразовать его запись в форму $a^n$, где $a$ – число, а $n$ – какая-то степень.

Докажем, что $127^{33} < 513^{18}$.

  1. $127^{33} < 128^{33}$, так как $127 < 128$.
  2. $128^{33} < 128^{34}$, так как $33 < 34$.
  3. $128^{34} = (2^7)^{34} = 2^{238}$.
  4. $513^{18} = (3\cdot 171)^{18} = 3^{18}\cdot 171^{18}$.
  5. $3^6 = 729 > 512 = 2^9$.
  6. $171^{18} < (2^8)^{18} = 2^{144}$.
  7. $3^{18} < 3^{24} = 3^6 \cdot 3^6 \cdot 3^6 \cdot 3^6 < 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^{144} = 2^{148}$.
  8. $513^{18} = 3^{18}\cdot 171^{18} < 2^{148}\cdot 2^{238} = 2^{386}$.
  9. $127^{33} < 2^{7\cdot 33} = 2^{231}$.

Таким образом, получили, что $127^{33} < 513^{18}$.

Ответ

$127^{33} < 513^{18}$.